RIPASSO ARITMETICA 1 e 2 MEDIA

operazioni fondamentali in N

In generale un’operazione è un procedimento che a due o più numeri, dati in un

certo ordine e detti termini dell’operazione, ne associa un altro, detto risultato

dell’operazione.

.Le quattro operazioni fondamentali

Addizione

L’addizione è l’operazione che dati due numeri qualsiasi, detti addendi, ne associa un terzo,

detto somma o totale, ottenuto contando dopo al primo addendo tante unità quante sono

quelle del secondo.

L’addizione è interna a N!

L’insieme N è chiuso rispetto all’addizione.

(3+2)

(5+8)

N

Sottrazione

La sottrazione è l’operazione che dati due numeri qualsiasi in un dato ordine (minuendo >

sottraendo; altrimenti Z), detti minuendo e sottraendo, ne associa un terzo, detto

differenza o resto, ottenuto togliendo al minuendo tante unità quante sono quelle del

sottraendo.

La sottrazione non è interna a N!

L’insieme N non è chiuso rispetto alla

sottrazione (Z).

(5-2)

(2-5)

N

Sottrazione con risultato in Z.

Per eseguire la sottrazione con il minuendo minore del sottraendo, si esegue la differenza dei

due numeri (maggiore – minore) e si attribuisce al risultato il segno negativo.

(+) 3 + (-) 8 = 3 – 8 = -5 (perché 8 – 3=5)

Moltiplicazione

La moltiplicazione è l’operazione che dati due numeri qualsiasi, detti fattori (o moltiplicando

e moltiplicatore), ne associa un terzo, detto prodotto, ottenuto addizionando tante volte le

unità del primo quante sono le unità del secondo.

La moltiplicazione è interna a N!

L’insieme N è chiuso rispetto alla

moltiplicazione.

Divisione

La divisione è l’operazione che dati due numeri qualsiasi in un dato ordine, detti dividendo e

divisore, ne associa un terzo, detto quoto o quoziente (risultato in N e Q), ottenuto

raggruppando in tante parti quante ne richiede il divisore oppure contando quante parti si

possono ottenere, composte da tante unità quante ne indica il divisore.

La divisione non è interna a N!

L’insieme N non è chiuso rispetto alla divisione

(Q).

(8¸2)

(5¸2)

N

Se un numero a è multiplo di un numero b, diverso da 0, si dice quoto o quoziente esatto quel

numero q che moltiplicato per b da come risultato a. La divisione non dà resto! Quindi:

= ∙ (12:3=4 quindi 12=3×4)

Se i due numeri sono tali che a non sia multiplo di b, si dice quoziente o quoziente

approssimato quel numero che moltiplicato per b dà un prodotto minore di a. In questo caso la

divisione dà un resto r diverso da zero! Quindi:

= ∙ + (11:5=2 resto 1 quindi 11=2×5+1)

.

Proprietà delle quattro operazioni fondamentali

Addizione commutativa

In una addizione cambiando l’ordine degli addendi la somma non cambia.

a + b = b + a "(a,b) Î N

2 + 3 = 3 + 2

Addizione associativa

Sostituendo a due o più addendi la loro somma il risultato della addizione non cambia

(a + b ) + c = a + (b + c) "(a,b,c) ÎN

7 + 3 + 5 = 7 + 8 = 10 + 5 = 12 + 3

Addizione dissociativa

In una addizione sostituendo a un addendo due o più addendi la cui somma sia l’addendo

sostituito il risultato (la somma) non cambia

a + b = a + c + d dove b = c + d

23 + 2 = 20 + 3 + 2

Moltiplicazione commutativa

In una moltiplicazione cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia.

a × b = b × a "(a,b) Î N

2 x 3 = 3 x 2

Moltiplicazione associativa

Sostituendo a due o più fattori il loro prodotto il risultato della moltiplicazione non cambia.

(a × b) × c = a × (b × c)

2 x 5 x 7 = 10 x 7 = 2 x 35 = 14 x 5

Moltiplicazione dissociativa

In una moltiplicazione sostituendo a un fattore due o più fattori il cui prodotto sia il

fattore sostituito il risultato (il prodotto) non cambia.

a × b = a × c × d dove b = c × d

24 x 8 = 6 x 4 x 8

Moltiplicazione distributiva

Per moltiplicare un numero per i termini di una addizione (o di una sottrazione) è possibile

calcolare il prodotto del fattore dato per ogni singolo termine dell’addizione (o sottrazione) e

poi sommarli (o sottrarli).

a × (b ± c) = (b ± c) × a = (a × b) ± (a × c)

5 × (3 + 2) = (3 + 2) × 5 = (5 × 3) + (5 × 2) = 15 + 10 = 25

7 × (4 – 2) = (4 – 2) × 7 = (7 × 4) – (7 × 2) = 28 – 14 = 14

Sottrazione invariantiva

Sommando o sottraendo uno stesso numero ai due termini di una sottrazione il risultato non

cambia.

a – b = (a ± c) – (b ± c)

(8 – 5) = (8 + 5) – (5 + 5) = 13 – 10 = 3

(8 – 5)= (8 – 5) – (5 – 5) = 3 – 0 = 3

Divisione invariantiva

Dividendo o moltiplicando per uno stesso numero i due termini di una divisione il risultato non

cambia

a ¸ b = (a ¸ c) ¸ (b ¸ c) = (a × c) ¸ (b × c)

Divisione distributiva

Per dividere i termini di una addizione (o sottrazione) per un numero è possibile eseguire la

divisione di ogni singolo termine dell’addizione (o sottrazione) per il divisore dato e poi

sommarli (o sottrarli)

(a ± b) ¸ c = (a ¸ c) ± ( b ¸ c)

.

Operazione di elevamento a potenza in breve

L’elevamento a potenza è un’operazione che associa a due numeri qualsiasi, dati in un

dato ordine e detti base ed esponente, un terzo numero, detto potenza, che si

ottiene moltiplicando la base per se stessa tante volte quando indica l’esponente.

Il calcolo della potenza di un numero (base) si esegue come prodotto di tanti fattori

uguali alla base quanti ne indica l’esponente. In generale:

= × × × . . . ×

L’elevamento a potenza è interna a N!

L’insieme N è chiuso rispetto all’elevamento a potenza.

Proprietà delle potenze

Il prodotto di potenze aventi la stessa base é una potenza che ha per base la

stessa base e per esponente la somma degli esponenti:

ax × ay = a x+y Esempio: 34 × 32 = 34+2= 36 perché 34 × 32 = 3×3×3×3×3×3= 36

Il quoziente di potenze aventi la stessa base é una potenza che ha per base la

stessa base e per esponente la differenza degli esponenti:

ax ¸ ay = a x-y Esempio: 34:32 = 34-2= 32 perché 34:32 = (3×3×3×3):(3×3)= 32

La potenza di una potenza é una potenza che ha per base la stessa base e per

esponente il prodotto degli esponenti:

(ax)y = a x·y Esempio: (52)3 = 52∙3= 56 perché (5×5)3= (5×5)×(5×5)×(5×5)= 56

Il prodotto di potenze con lo stesso esponente é una potenza che ha per

esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi:

ax × bx = (a × b)x

Il quoziente di potenze con lo stesso esponente é una potenza che ha per

esponente lo stesso esponente e per base il quoziente delle basi:

ax ¸ bx = (a ¸ b)x

Qualsiasi potenza con esponente 1 è la base.

b1 = b e quindi b = b1

Qualsiasi potenza con base 1 è 1.

1n = 1

Qualsiasi potenza con esponente 0 è pari a 1.

a0 = 1

Qualsiasi potenza con base 0 ed esponente maggiore di 0 è 0.

0n = 0 ("n > 0)

La potenza 00 è priva di significato!

00 => priva di significato (alcuni autori pongono 00=1)

Estrazione di radice

E’ detta radice aritmetica ennesima (a, anche, di indice n) di un numero reale a, un

secondo numero reale (se esiste), b, tale che la potenza ennesima di questo sia

uguale ad a.

Si scrive a b n = che equivale a bn = a

e che può essere posto sotto la forma b = a1/n = a b n =

Il numero a che compare sotto il segno di radice è detto radicando

Esempio: 2 8 3 =

8 3 x = da dove 8 2 3 =

La radice non è interna a N!

L’insieme N non è chiuso rispetto alla radice (I).

Logaritmo3

Dicesi logaritmo di un numero, in una data base, l’esponente cui si deve elevare la

base per ottenere il numero dato.

Se fra tre numeri a>1, b>0 e x intercede una relazione esponenziale del tipo:

ax =b

x è detto logaritmo in base a di b, e si scrive: loga b = x

Esempio: 23 = 8

2x = 8 da dove log2 8 = 3

Il logaritmo non è interna a N!

L’insieme N non è chiuso rispetto al logaritmo.

Legge di Hankel

Perché a0 = 1? Per la legge di Hankel e un po’ di buon senso matematico.

H. Hankel (1839-1873) stabilì il principio di permanenza delle regole del calcolo.

Se nella matematica si vuole generalizzare un concetto oltre la sua originaria

definizione, bisogna scegliere, tra tutti i modi possibili, quello che permette di

conservare immutate le regole del calcolo nel più esteso numero dei casi.

.

Lo zero e l’uno

Lo zero e l’uno sono due numeri particolari che assumono comportamenti diversi nelle

operazioni e che occorre avere ben chiari.

Lo zero

addizione elemento neutro a + 0 = 0 + a = a

sottrazione elemento neutro a destra a – 0 = a

a – 0 ¹ 0 – a

moltiplicazione elemento assorbente a x 0 = 0 x a = a

divisione se dividendo dà 0 0 ¸ a = 0 perché a x 0 = 0

10 : 2 = 5 significa che 5 *2 = 10

6 : 3 = 2 significa che 2 *3 = 6

0 : 9 = x significa x * 9 = 0

divisione se divisore errore a ¸ 0 = Impossibile -> ¥

perché non esiste nessun numero

che per zero dia un numero

10 : 2 = 5 significa che 5 *2 = 10

6 : 3 = 2 significa che 2 *3 = 6

7 : 0 = x significa x * 0 = 5 ????

divisione se dividendo e divisore 0 ¸ 0 = indeterminata

elev. a potenza Base 0n = 0 con n ¹ 0

elev. a potenza Esponente a0 = 1 con a ¹ 0

elev. a potenza base ed esponente 0

0

non ha senso

radice Radicando nÖ0 = 0

L’uno

addizione Successivo a + 1 > a

sottrazione Precedente a – 1 < a

moltiplicazione elemento neutro a x 1= 1 x a = a

divisione neutro a destra a ¸ 1 = a

perché a x 1 = a

divisione inverso a sinistra 1 ¸ a = 1/a

elev. a potenza Base 1n = 1

elev. a potenza Esponente a1 = a quindi a = a1

radice Radicando nÖ1 = 1

perché 1n=1

logaritmo potenza = 1 logn 1 = 0

logaritmo base = potenza logn n = 1

Eseguire una operazione significa cercarne il risultato. E’ comunque possibile risalire

al valore "incognito" di uno dei termini dell’operazione quando si conosce il risultato e

gli altri termini. Questa determinazione si fa utilizzando un procedimento "inverso"

rispetto a quello usuale.

Usualmente si indica il termine incognito (incognita) con una delle seguenti lettere

minuscole: x, y o z.

Per attuare questo si scrive l’eguaglianza relativa all’operazione indicando il termine

incognito con la x.

Esempio: x + 3 = 5

Quindi usando le operazioni inverse o riconducendole a casi simili si risolve.

Esempi

+ 4 = 6 = 6 − 4 = 2 2 + 4 = 6

12 + = 23 = 23 − 12 = 11 12 + 11 = 23

− 3 = 5 = 5 + 3 = 8 8 − 3 = 5

3 ∙ = 21 = 21: 3 = 7 3 ∙ 7 = 21

∙ 7 = 14 = 17: 7 = 2 2 ∙ 7 = 14

12: = 6 = 12: 6 = 2 12: 2 = 6

: 3 = 7 = 7 ∙ 3 = 21 21: 3 = 7

Questa voce è stata pubblicata in ARITMETICA 1 E 2 MEDIA. Contrassegna il permalink.

Lascia un commento

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...