un po di ripassso specialmente di matematica fa sempre bene

Sistemi di numerazioneL’uomo si è dotato di diversi sistemi di numerazione, adottando per ognuno di loro un insieme di simboli e di regole e norme per la scrittura e lettura dei numeri I nostri numeri naturali costituiscono il sistema di numerazione decimale e posizionale. I sistemi antichi erano per lo più additivi. Avevano più simboli o segni ma con valore costante e si formavano i numeri con somme e differenze di tali simboli (esempio: sistema numerazione romano, almeno in origine). Esistevano anche sistemi misti (esempio: sistema numerazione Maya), per ovviare agli inconvenienti del solo sistema additivo. La notazione puramente additiva presenta lo svantaggio di richiedere sempre nuovi simboli a mano a mano che i numeri diventano più grandi e nelle difficoltà di calcolo numerico. Poche persone, veri specialisti, erano in grado di eseguire calcoli di una certa complessità e non esistevano metodi efficienti di calcoli come quelli che noi usiamo manualmente. I sistemi di numerazione posizionali attribuiscono alle cifre, che utilizzano per rappresentare un numero, significato diverso secondo la loro posizione. L’invenzione della notazione posizionale, attribuita ai Caldei o ai Babilonesi e sviluppata dagli Indù, ebbe un’importanza enorme nel cammino della civiltà. Il sistema posizionale possiede l’utile proprietà di permettere di rappresentare tutti i numeri, grandi e piccoli, mediante insiemi di pochi simboli diversi tra loro. Le regole del calcolo possono inoltre venire raccolte in tavole della addizione e della moltiplicazione da mandarsi a memoria una volta per tutte.

Il sistema di numerazione decimale

Il nostro sistema di numerazione è di tipo posizionale (le cifre valgono secondo la posizione occupata) e decimale, a base o radice 10 (dieci cifre e gruppi di dieci in dieci). I simboli utilizzati sono: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I simboli o cifre non vanno confusi con i numeri. Lo zero, ignoto ai greci e ai romani, giunse in Occidente nel medioevo attraverso gli arabi che a loro volta ne avevano appreso la nozione dagli indiani. Questa cifra assume un ruolo rilevante nel sistemi posizionali. Nel numero 101, ad esempio, le due cifre 1 pesano diversamente per la diversa posizione occupata (1 x100 -> centinaia e 1 x1 unità) e lo zero indica l’assenza di una cifra del secondo ordine (0 x10 -> decine). Per cui nel sistema di numerazione decimale, formato da soli 10 simboli, ogni cifra va ponderata per i pesi relativi alla posizione da esse occupata nella scrittura. Vediamo qualche esempio (in grassetto i pesi): 84329 = 8 x10.000 + 4 x1.000 + 3 x100 + 2 x10 + 9 x1 84329 = 8 x104+ 4 x103+ 3 x102 2 x101+ 9 x100 71,73 = 7 x10 + 1 x1 + 7 x0,1 + 3 x0,01 71,73 = 7 x101 + 1 x100 + 7 x10-1 + 3 x10-2

La scrittura estesa che considera il peso delle diverse cifre è detta scrittura polinomiale di un numero1. Ogni cifra occupa in un numero un ordine diverso (gli ordini si numerano da sinistra verso destra). Per leggere e scrivere i numeri, i diversi ordini sono raggruppati di tre in tre (unità, decine e centinaia) formando le classi, che assumono nomi particolari (unità, migliaia, milioni, miliardi).

 

 

miliardi

milioni

migliaia

  unità

 

 

 

 

12°

11°

10°

c

d

u

c

d

u

c

d

u

c

d

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dieci unità di un ordine formano l’unità dell’ordine successivo. L’uomo moderno usa attivamente anche altri sistemi di numerazione: il binario (rappresentazione utilizzata dai calcolatori elettronici), l’ottale e l’esadecimale (sempre nei computer per avere una rappresentazione semplificata del binario).

Leonardo Pisano meglio noto come Fibonacci (circa 1170-1250), fu senza dubbio il matematico più originale e più abile del mondo cristiano medioevale. Introdusse con il "Liber Abaci", libro di XV capitoli pubblicato nel 1202 e nel 1228, "le nove figure indiane" assieme al segno 0, "che in arabo è chiamato zefiro" (cap. I, con confronti con il sistema romano Novem figure indorum he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Cum his itaque novem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur quilibet numerus, ut inferius demonstratur.). Introdusse con poco successo la barretta delle frazioni (nota al mondo arabo prima di lui) (cap. II-IV). Si deve in ogni modo passare al XII-XIV secolo per vedere diffuso in Europa occidentale l’uso delle cifre arabe. Nel XV secolo a seguito dell’invenzione della stampa queste divennero d’uso generalizzato in tutta l’Europa

Il sistema di numerazione binario – Binary

Il sistema di numerazione binario è di tipo posizionale (le cifre valgono secondo la posizione occupata) e a base o radice 2 (due cifre e gruppi di due in due). I simboli utilizzati sono: 0 1 È usato in informatica per la rappresentazione interna dei numeri, grazie alla semplicità di realizzare fisicamente un elemento con due stati anziché un numero superiore, ma anche per la corrispondenza con i valori logici vero e falso. È considerato tra le più grandi invenzioni del filosofo e matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (Lipsia 1646 – Hannover 1716). L’idea cadde nel vuoto e solo nella prima metà del 1800 sarà riscoperta, grazie al matematico inglese George Boole (1815 – 1864), che aprirà l’orizzonte alle grandi scuole di logica matematica del ‘900 e soprattutto alla nascita del calcolatore elettronico (algebra booleana). Il numero 9 nel sistema binario viene indicato dalla sequenza 1 0 0 1 ed è uguale a: 10012 = 1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9.

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